Οι πρώτοι των πρώτων και αριθμοί που δεν μετράνε

0

first-numbers2 

Από τον Γιάννη Μπρούζο 

(Η συνέχεια του άρθρου ”Αριθμοί που δεν μετράνε”)

Οι “πρώτοι των πρώτων”

Τελειώνει λοιπόν ο γολγοθάς των εξετάσεων. Σε λίγο καιρό, όταν “θα βγουν οι βαθμοί” θα αρχίσουν τα περί βάσεων, δυσκολίας πρόσβασης στις σχολές, εκτιμήσεις και άλλοι αριθμοί. Μέσα σε όλα αυτά σίγουρα θα εμφανιστούν και πάλι τα γνωστά παιδιά-είδωλα (των γονιών κυρίως) οι “πρώτοι των πρώτων”, οι πρωτεύσαντες στις βαθμολογίες των πανελλαδικών εξετάσεων.

Με απόλυτο σεβασμό στην προσπάθεια των παιδιών και σε όλα αυτά που πέρασαν για να επιτύχουν τους στόχους τους, νομίζω ότι η πιο σωστή κουβέντα που έχουμε να τους πούμε σαν μεγαλύτεροι -είτε δάσκαλοι, είτε συγγενείς- είναι αυτή που είπε στην εκπομπή του Νόστιμον Ήμαρ στο cr-radio, ο δάσκαλος, μαθηματικός και συγγραφέας Τεύκρος Μιχαηλίδης:

“Συγνώμη”.

Ούτε “καλή επιτυχία”, ούτε “καλά αποτελέσματα”, ούτε “συγχαρητήρια”, ούτε “μπράβο”, ούτε “δεν πειράζει, σημασία έχει η προσπάθεια”, ούτε “πάντα υπάρχει δεύτερη ευκαιρία”, ούτε τίποτα τέτοιο δήθεν επιβραβευτικό ή παρηγορητικό. Αλλά ένα ειλικρινές και ταπεινό συγνώμη.

Συγνώμη γιατί δεν καταφέραμε να αλλάξουμε αυτό το αίσχος των εξετάσεων, συγνώμη γιατί βάλαμε ακόμα μια γενιά σε αυτή τη διαδικασία, συγνώμη γιατί μετά από 12 χρόνια στην εκπαίδευση τους δώσαμε λίγα, πολύ λίγα, και τους πήραμε πολλά, και τους στερήσαμε ακόμα πιο πολλά. Γιατί η είσοδος ή μη στο πανεπιστήμιο σημαίνει λίγα, πολύ λίγα.

Και πιο πολύ συγγνώμη γιατί μπαίνουν σε μια κοινωνία -ως ενήλικες πια- που έχει σκοπό να τσακίσει τα όνειρά τους, να τα διώξει, να τους βάλει εμπόδια, δυσκολίες και στερήσεις σε ότι επιθυμούν. Είτε είναι οι “πρώτοι των πρώτων” είτε οι “τελευταίοι των τελευταίων”. Για όλα αυτά και πολλά ακόμα “γιατί”, παιδιά, το πιο ειλικρινές από εμάς είναι ένα απλό “συγνώμη”. Πως να κρυφτείς εξάλλου απ’τα παιδιά… έτσι κι αλλιώς τα ξέρουν όλα.

Οι “πρώτοι των πρώτων” των πανελλαδικών εξετάσεων τα ξέρουν σίγουρα όλα αυτά. Επίσης έχουν κι άλλες ιδιότητες: ανταπεξέρχονται σε εξετάσεις, έχουν μάθει ότι αυτό το σχολείο τους κάλεσε να μάθουν, είναι στοχοπροσηλωμένοι, και λίγο …τυχεροί.

Οι “πρώτοι των πρώτων” και οι “πρώτοι αριθμοί”

Οι πρώτοι των πρώτων μοιάζουν λίγο με τους “πρώτους αριθμούς”.

Οι πρώτοι αριθμοί έχουν και αυτοί τη δυνατότητα να περνάνε την δική τους εξέταση: ότι αριθμό και να βάλεις για να τους χωρίσεις (να τους διαιρέσεις) δεν θα το καταφέρεις (εκτός από τον ίδιο τους τον εαυτό, και τη μονάδα).

Είναι επίσης οι αριθμοί που “γεννάνε” όλους τους άλλους αριθμούς και έχουν μάθει -στο δικό τους “σχολείο”- να το κάνουν αυτό πολύ καλά. Παίρνουμε απλά δύο από αυτούς τους πολλαπλασιάζουμε και βρίσκουμε όλους τους άλλους φυσικούς αριθμούς. Όσο σημαντικοί είναι οι γονείς των παιδιών, ή τα άτομα της φυσικής που φτιάχνουν τα πάντα γύρω μας, άλλο τόσο σημαντικοί είναι οι πρώτοι αριθμοί που φτιάχνουν όλους τους αριθμούς.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι επίσης λίγο… τυχεροί, ή μάλλον πιο σωστά λίγο τυχαίοι. Είναι ένα από τα τρομακτικά μυστήρια για την ανθρωπότητα ότι αυτοί οι αριθμοί που φαίνονται τόσο σημαντικοί, συνεχίζουν να μας κρύβουν μυστικά για το που θα τους πετύχουμε, που θα τους συναντήσουμε καθώς ανεβαίνουμε τη σκάλα των φυσικών αριθμών 1,2,3…

Οι πρώτοι αριθμοί λοιπόν έχουν πολλά κοινά με τους “πρώτους των πρώτων” αλλά έχουν και μια συμβουλή να τους πούνε: να φέρνουν πάντα αντίσταση σε όσους προσπαθούν να τους καθυποτάξουν πλήρως, να τους ελέγξουν και να μάθουν όλα τα μυστικά τους. Οι πρώτοι αριθμοί αντιστέκονται για χιλιετίες και θα συνεχίσουν να αντιστέκονται για πολλά μάλλον χρόνια ακόμα.

first-numbers

Ο φανταστικός χάρτης της μουσικής των πρώτων αριθμών

Σε προηγούμενο άρθρο κάναμε ένα ταξίδι στους “αριθμούς που δεν μετράνε” ξεκινώντας από τους πρώτους, τους φυσικούς, τους πραγματικούς, τους ρητούς και τους άρρητους αλλά και τους φανταστικούς και μιγαδικούς. Και κάναμε αυτό το ταξίδι γιατί χρειαζόμαστε όλους αυτούς τους αριθμούς, όλα τα παιδιά των πρώτων, για να καταλάβουμε τους ίδιους τους πρώτους. Μοιάζει απίστευτο αλλά για να καταλάβεις αριθμούς σαν το 1,2,3,5,7,11,13,17,19… χρειάζεσαι πλάσματα του νου τόσο άπιαστα όσο οι μιγαδικοί αριθμοί.

Το εξαιρετικό βιβλίο “Η μουσική των πρώτων αριθμών” του Marcus du Sautoy, μας ταξιδεύει στην μαγεία των μαθηματικών, και την ιστορία των πρώτων αριθμών και όσων μεγάλων μαθηματικών προσπάθησαν να τους προσεγγίσουν.  Ένα μικρό άρθρο δεν μπορεί σίγουρα να αντικαταστήσει αυτό το εκπληκτικό ανάγνωσμα 500 περίπου σελίδων. Μπορεί όμως να σας ωθήσει να το διαβάσετε και σίγουρα δεν θα το μετανιώσετε.

Ποιο όμως είναι το μεγάλο μυστήριο με τους πρώτους αριθμούς; Ο μεγάλος Αλεξανδρινός Ευκλείδης απέδειξε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι. Και παρόλο που είναι άπειροι είναι τόσο δύσκολο να τους πετύχουμε στην επόμενη γωνία…. Για την ακρίβεια αν πάρουμε δυο αριθμούς τυχαίους είναι πολύ δύσκολο να ξέρουμε πόσοι ακριβώς πρώτοι βρίσκονται μεταξύ τους.

Από την εποχή των μεγάλων μαθηματικών Φερμά και Όιλερ έγινε μεγάλη προσπάθεια να βρεθεί μια φόρμουλα που θα παράγει πρώτους αριθμούς ελπίζοντας πως έτσι κάτι θα καταλάβουμε. Ο Πυθαγόρας ήξερε πως όταν διπλασιάσουμε μια συχνότητα του ηχητικού κύματος στην μουσική παίρνουμε μια ίδια νότα ακριβώς στην οκτάβα. Γενικά παίρνοντας δυνάμεις του δυο (2*2*2…) μπορούμε να πάρουμε τις άπειρες οκτάβες της ίδιας νότας. Ο Φερμά και ο Μερσέν σκεπτόμενοι σαν μουσικοί είπαν: αν οι πρώτοι είναι τόσο ξεχωριστοί αριθμοί είναι επειδή αποτελούν μια “παραφωνία” ή μουσική “διαφωνία” στους αρμονικά και κανονικά καταμερισμένους φυσικούς αριθμούς. Έτσι ο πρώτος πρόσθεσε και ο δεύτερος αφαίρεσε τον αριθμό 1 από τις δυνάμεις του δυο (2Ν+1 και 2Ν-1). Ωραίοι τύποι και απλοί και πράγματι έδιναν και δίνουν ακόμα πολλούς πρώτους αριθμούς. Όχι όμως όλους και όχι πάντα.

Ο Όιλερ, ήταν ο άνθρωπος που έλυσε το πρώτο μαθηματικό πρόβλημα τοπολογίας: πως μπορεί να περιηγηθεί κανείς στην πόλη Καλίνινγκραντ περνώντας μόνο μια φορά από τις 7 (να ένας διάσημος πρώτος αριθμός) γέφυρες τις για να φτάσει στο ίδιο σημείο.  Ο Όιλερ βρήκε έναν λίγο πιο περίπλοκο τύπο για να παράγει πρώτους. Όμως η εποχή εκείνη “των τύπων” πέρασε ανεπιστρεπτί και έτσι όταν αρκετά πρόσφατα βρέθηκε μια φόρμουλα που πράγματι παράγει πρώτους αριθμούς χρησιμοποιώντας και τα 24 γράμματα της αλφαβήτου, πέρασε σχεδόν απαρατήρητος. Και αυτό γιατί δεν αποκάλυψε σχεδόν τίποτα που δεν ξέραμε. Αφήστε που είναι φοβερά δύσχρηστη.

Ήταν ο μεγάλος Γκάους που έστρεψε την προσοχή μας από την  ερώτηση “ποιοι ακριβώς είναι οι πρώτοι και πως μπορούμε να τους παράγουμε” στην ερώτηση “πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί μέσα σε μια περιοχή αριθμών”. Ο Γκάους εξερευνώντας αυτή την ερώτηση είδε μια κανονικότητα να αναδύεται μέσα από το χάος. Έτσι έφτιαξε μια συνάρτηση που μετρούσε το πλήθος των πρώτων αριθμών. Ήταν μια αρκετά καλή εκτίμηση του πλήθους όμως όπως και ο ίδιος ο Γκάους ήξερε πάντα είχε λίγο …. σφάλμα.

Χρειάστηκε η ιδιοφυΐα του Ρίμαν για να ενώσει πράγματα τελείως διαφορετικά και να φτιάξει έναν υπέροχο χάρτη των πρώτων αριθμών. Ο Πυθαγόρας ήξερε ότι εκτός από τη διαίρεση ή τον πολλαπλασιασμό με το 2 υπάρχουν και άλλοι ήχοι που είναι αρμονικοί και προκαλούνται από την διαίρεση με το 3,4,5…. Aν υψώσουμε σε κάποια δύναμη x (δηλαδή πολλαπλασιάσουμε x  φορές  με τον εαυτό τους) τις αρμονικές του Πυθαγόρα και τις προσθέσουμε βρίσκουμε τη συνάρτηση ζήτα:

brouzos

Ήδη ο Όιλερ είχε παίξει πολύ με αυτή τη συνάρτηση και είχε βρει ενδιαφέρουσες συνδέσεις με το άπειρο ή τον άρρητο αριθμό π αλλά και με τους πρώτους αριθμούς. Ο Γκάους επίσης αγαπούσε πολύ τους φανταστικούς αριθμούς και μετέδωσε αυτή την αγάπη του και στον μαθητή του, τον Ρίμαν.

Ο Ρίμαν σκέφτηκε λοιπόν να βάλει φανταστικούς και μιγαδικούς αριθμούς αντί για έναν απλό φυσικό αριθμό στο x της συνάρτησης ζήτα των αρμονικών της μουσικής. Και έτσι μας ταξίδεψε σε μέρη που μόνο ο νους του ανθρώπου μπορεί να ταξιδέψει.  Με το κόλπο του Ρίμαν η συνάρτηση ζήτα ζει πλέον στη χώρα των  μιγαδικών (με φανταστικό και πραγματικό μέρος) αριθμών. Και η χώρα αυτή έχει 4 διαστάσεις: δυο για την τοποθεσία του x (την πραγματική και φανταστική τιμή του x) και δύο που μας λένε πως μοιάζει η συνάρτηση ζήτα σε αυτή την τοποθεσία. Κανείς όμως δεν μπορεί εύκολα να ζωγραφίσει τέσσερις διαστάσεις. Ο Ρίμαν όχι μόνο βρήκε τρόπους να ζωγραφίσει τον χάρτη αυτής της φανταστικής χώρας του ζήτα, αλλά και να δείξει που είναι οι θάλασσες αυτής της χώρας. Οι θάλασσες που είναι μόνο μικρές κουκκίδες-σημεία για μια συνάρτηση είναι οι μηδενισμοί της. Και οι μηδενισμοί αυτής της συνάρτησης ορίζουν τις διορθώσεις στην εκτίμηση του Γκάους (βελτιωμένοι από τον Ρίμαν) που προβλέπουν ακριβώς την θέση των πρώτων αριθμών!!!

Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι εντελώς κουφό και όμως ισχύει. Μια περίεργη συνάρτηση των αρμονικών της μουσικής που ζει σε μια φανταστική χώρα και στην οποία οι τοποθεσίες είναι μιγαδικοί αριθμοί μας λέει όσα κανένας άλλος δεν μας είχε πει για τους πρώτους αριθμούς (τους πιο βασικούς φυσικούς αριθμούς) και τα σημεία που κρύβονται. Το μεγάλο μυστήριο όμως που θα δώσει τεράστια φήμη σε αυτήν ή αυτόν που θα το εξακριβώσει είναι η Υπόθεση του Ρίμαν: ότι όλοι αυτοί οι μηδενισμοί της ζήτα είναι πάνω στην φανταστική ευθεία με πραγματική συντεταγμένη το 1/2! Από το 1859 παλεύουν οι μαθηματικοί να αποδείξουν αυτή την υπόθεση. Και όμως αυτή αντιστέκεται. Και βέβαια δεν έχει βρεθεί ποτέ κανένας μηδενισμός έξω από την φανταστική ευθεία του Ρίμαν.

Ίσως η Υπόθεση Ρίμαν να είναι μη αποδείξιμη κατά το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ.

Ίσως ο Ραμανουτζάν ο μεγαλοφυής Ινδός -πρωταγωνιστής της πρόσφατης ταινίας “Ο άνθρωπος που γνώριζε το άπειρο”- μαζί με τον γκουρού των δυτικών μαθηματικών  Γκόντφρει Χάρντι να είχε φτάσει πολύ κοντά και να μην πρόλαβε. Βέβαια ο Ραμανουτζάν, που είχε αντίστοιχη ιδέα με τον Ρίμαν χωρίς να έχει σπουδάσει ποτέ μαθηματικά, δεν συμπαθούσε πολύ τις αποδείξεις αλλά πίστευε στην διαίσθηση και την ενόραση.

Ίσως οι νέες ιδέες σύνδεσης των πρώτων αριθμών με τις θεωρίες της κβαντομηχανικής και του χάους, τα κβαντικά τύμπανα του Μάικλ Μπέρυ στη φυσική να δώσουν το κλειδί της λύσης.

Ίσως οι υπολογιστές και η λογικές μηχανές του ιδιοφυούς Άλαν Τούρινγκ να μας βοηθήσουν πολύ.

Ίσως η κρυπτογραφία που βασίζεται στους πρώτους αριθμούς να έχει καταλάβει πραγματικά πόσο κρυφά είναι τα μυστικά τους.

Ίσως οι πρώτοι αριθμοί να αντιστέκονται για πάντα.

Ίσως για αυτό η μουσική τους να είναι τόσο μυστηριώδης και τόσο σαγηνευτική.

Σχετικά Με Το Συντάκτη

Γιάννης Μπρούζος

Διδάκτωρ Φυσικής, διπλωματούχος πιάνου. Από όλους τους ρόλους μου αγαπώ αυτούς του μαθητή και του δασκάλου. Με εξοργίζει η αδικία. Με μαγεύει η δημιουργία και ο αγώνας. Ενθουσιάζομαι και παθιάζομαι πολύ. Υπερβολικά πολύ.

Αφήστε Ένα Σχόλιο

1 × four =

Simple Share Buttons